Ola galera!
Esta ai a resolução da 2º Avaliação de calculo I de 14/04/2012
Bons estudos !!!
Obs: Tentem fazer a prova antes e só depois confiram a resolução :))
(UFAL) - Cálculo 1 - Segunda Avaliação Data: 14/04/2012
1.
(a) Verifique se a função $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{ se
} x\leq 1 \\ \frac{-x}{2} + \frac{5}{2} & \text{ se } x> 1
\end{cases}$ é diferenciável em x=1, usando derivadas laterais.
(b) Se $f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)$, mostre que $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{(x+a)}+\frac{1}{(x+b)}+\frac{1}{(x+c)}$.
2. (a) Obtenha as equações das retas tangente e normal à curva $x^2+2xy-y^2=2$ no ponto$ (2,0)$.
(b) Se $f(x)=e^{2^x +\sec x}$, determine $f'(x)$.
3. Seja $f$ a função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=-2$, é $y=\frac{5}{2}x-1$ e seja $g(x)=f(\frac{6-2x}{x^2-3})$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ em $x=1$.
4. (a) Calcule a área do triangulo limitado pelo eixo das ordenadas e pelas retas tangente e normal ao gráfico de $y=-x^2+2x$, no ponto $(2,0)$.
(b) Calcule $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{1-\cos(x+3)}{x^2+2x-3}$.
5. (a) Tem-se que $|x|=\sqrt{x^2}$. Mostre que $\frac{\partial}{\partial x}|x|=\frac{x}{|x|}$.
(b) Seja $f(x)=|\tan x|$, com $x\in(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.
Em que valores do intervalo dado a função $f$ é derivável?
O gráfico de $f$ possui alguma reta tangente horizontal?
1. (a) Verifique se a função $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{ se
} x\leq 1 \\ \frac{-x}{2} + \frac{5}{2} & \text{ se } x> 1
\end{cases}$ é diferenciável em x=1, usando derivadas laterais.
$f'_+(1)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\frac{-x}
{2}+\frac{5}{2}-2}{x-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\frac{-x}{2}+\frac{1}{2}}{x-
1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)}$ , pois $x\rightarrow 1^+\Rightarrow
x\neq 1$ $f'_+(1)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{2}$ .: $f'_+(1)=\frac{1}{2}$.
$f'_-(1)=\lim_{\rightarrow 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x^2+1-2}
{x-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x^2-1}{x-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{(x-1)(x+1)}
{x-1}$
=$\lim_{x\rightarrow 1^-}(x+1)$, pois $x\rightarrow 1^-\Rightarrow x\neq 1$
$f'_-(1)=\lim_{x\rightarrow 1^-}x+1=1+1=2$.
Portanto, $f$ não é derivável em $x=1$, pois $f'_+(1)\neq f'_-(1)$
(b) Se $f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)$, mostre que $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{(x+a)}+\frac{1}{(x+b)}+\frac{1}{(x+c)}$.
$\frac{\partial}{\partial x}f$=$\frac{\partial}{\partial x}[(x-a)(x-b)(x-c)]$
=$(x-b)(x-c)\frac{\partial}{\partial x}[(x-a)]$+$(x-a)(x-c)\frac{\partial}{\partial x}[(x-b)]$+
$(x-a)(x-b)\frac{\partial}{\partial x}[(x-c)]$
=$(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)$.
Supondo que $x\neq a , x\neq b, x\neq c$ vem:
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$.:
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{(x-b)(x-c)}{(x-a)(x-b)(x-c)}+\frac{(x-a)(x-c)}{(x-a)(x-b)(x-c)}+ \frac{(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$,
mas ,por hipótese, $x\neq a,x\neq b e x\neq c$.Daí,
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+ \frac{1}{x-b}+ \frac{1}{x-c}$$ c.q.d
2. (a) Obtenha as equações das retas tangente e normal à curva $x^2+2xy-y^2=2$ no ponto$ (2,0)$.
$y=f(x)$ .: $x^2+2xy+y^2=2$ .: $\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2xy+y^2)=\frac{\partial}{\partial x}(2)$ .:
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2)+2\frac{\partial}{\partial x}(xy)-\frac{\partial}{\partial x}(y^2)$=0.:
$2x+2(y\frac{\partial}{\partial x}x+x\frac{\partial}{\partial x}y)-\frac{\partial}{\partial y}(y^2)\frac{\partial}{\partial x}y=0$.:$2x+2y+2\frac{\partial}{\partial x}y-2y\frac{\partial}{\partial x}=0$.:
$\frac{\partial}{\partial x}y(2x-2y)=-(2x+2y)$ e $x\neq y$.: $\frac{\partial}{\partial x}y=\frac{-(2x+2y)}{(2x-2y)}$.: $\frac{\partial}{\partial x}y=\frac{x+y}{y-x}$
$$\frac{\partial}{\partial x}y\Bigg|_{x=2}^{y=0}=\frac{2-0}{0-2}=-1$$
$m_t=-1$ e $m_N=\frac{-1}{m_t}$ .: $m_N=1$
$y=m_t(x-2)$ .: $y=2-x$ e $y=m_N(x-2)$.: $y=x-2$
(b)Se $f(x)=e^{2^x +\sec x}$, determine $f'(x)$.
Seja $u=2^x+\sec x$ e $y=f(u)=e^u$
$\frac{\partial}{\partial x}y$=$\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$=$\frac{\partial}{\partial u}(e^u)\frac{\partial}{\partial x}(2^x+\sec x)$=$e^u(\frac{\partial}{\partial x}(2^x)+\frac{\partial}{\partial x}(\sec x))$=$e^u(2^x\ln 2 +\sec x\tan x)$.
$$\frac{\partial y}{\partial x}=e^{2^x+\sec x}(2^x\ln2+\sec x\tan x)$$.
3. Seja $f$ a função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de
$f$ em $x=-2$, é $y=\frac{5}{2}x-1$ e seja $g(x)=f(\frac{6-2x}{x^2-3})$.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ em $x=1$.
$f'(-2)=\frac{5}{2}$ , $(-2,-6)$ é o ponto de tangência de $f$ e $g(1)=f(-2)$ .: $g(1)=-6$
$\frac{\partial}{\partial x}g(1)$=$\frac{\partial}{\partial x}f(-2)\frac{\partial}{\partial x}(-2)$
$\frac{\partial}{\partial x}g(1)$=0 .: $m_t=0$ , mas $y+6=m_t(x-1)$ .: $y=-6$
4. (a) Calcule a área do triangulo limitado pelo eixo das ordenadas e
pelas retas tangente e normal ao gráfico de $y=-x^2+2x$, no ponto
$(2,0)$.
Sabemos que $\frac{\partial y}{\partial x}$=$m_t$ e $m_t$= $-\frac{1}{m_N}$
$\frac{\partial y}{\partial x}$=$\frac{\partial}{\partial x}(-x^2+2x)$=$\frac{\partial}{\partial x}(x^2)+2\frac{\partial}{\partial x}x$=$-2x+2$.
$\frac{\partial y}{\partial x}\Bigg|_{x=2}=-2$ .: $y=m_t(x-2)$ .: $y=m_N(x-2)$
$t: y=-2x+4$ .: $N: y=\frac{x}{2}-1$.: $A_\Delta=\frac{b.h}{2}$ .: $A_\Delta=5$
(b) Calcule $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{1-\cos(x+3)}{x^2+2x-3}$.
$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{1-\cos(x+3)}{x^2+2x-3}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{1-\cos(x+3)}{(x+3)(x-1)}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\cos(x+3)-1}{(x+3)}\frac{-1}{(x-1)}$
=$\lim_{x\rightarrow -3}\left(\frac{\cos(x+3)-1}{x+3} \right)\left(\frac{-1}{x-1}\right)$, mas
$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-1}{x-1}$=$\frac{1}{4}$ e $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\cos(x+3)-1}{x+3}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\left(\cos(x+3)-1\right)\left( \cos(x+3)+1\right)}{(x+3)\left( \cos(x+3)+1\right)}$.:
$\left(\cos(x+3)-1 \right)\left(\cos(x+3)+1 \right)=\cos^2(x+3)-1=-\sin^2(x+3)$ pela relação fundamental da trigonomentria.
=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-\sin^2(x+3)}{(x+3)\left( \cos(x+3)+1\right)}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\left(\frac{\sin(x+3)}{x+3}\right)\left(\frac{\sin(x+3)}{\cos (x+3)-1} \right)$
Além disso,
$\lim_{x\rightarrow -3}\left(\frac{\sin(x+3)}{\cos (x+3)-1} \right)$=$\frac{0}{2}$=$0$ e $\lim_{x\rightarrow -3}\left(\frac{\sin(x+3)}{x+3}\right)$
=$\lim_{x+3\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(x+3)}{x+3}\right)$=$1$ (limite fundamental da trigonometria).
Daí,
$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{1-\cos(x+3)}{x^2+2x-3}$=$$\left(\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-1}{x-1} \right)\left(\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\sin(x+3)}{x+3} \right)\left(\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\sin(x+3)}{\cos(x+3)+1} \right)$$=$\frac{1}{4}.0.1$=$0$
5. (a) Tem-se que $|x|=\sqrt{x^2}$. Mostre que $\frac{\partial}{\partial x}|x|=\frac{x}{|x|}$.
Seja $u=x^2$ e $y$=$f(u)$=$\sqrt{u}$ .:
$ \frac{\partial y}{\partial x}$=$\frac{\partial}{\partial x}|x|$=$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2}$=$\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$=$\frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u})\frac{\partial}{\partial x}(x^2)$
=$$\frac{1}{2}u^{\frac{-1}{2}}.2x=\frac{x}{\sqrt{u}} .: \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{x}{|x|}$$ c.q.d
